19.5 KB · ⇊ 6 parts · ⤓ Micron 19.5 KB · ⤓ HTML 113.8 KB

top

In mwcggeometria solida il mwcwdodecaedro è un mwdapoliedro con dodici facce. Generalmente con questo termine si intende però il mwdqdodecaedro regolare: nel dodecaedro regolare le facce sono mwdgpentagoni mwdwregolari che si incontrano in ogni mweavertice a gruppi di tre.

• Solido platonico

• Area e volume

• La costruzione di Euclide

• Storia

• Poliedro duale

• Simmetrie

• Altre proprietà

• Note

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Il dodecaedro regolare è uno dei cinque mwfasolidi platonici. Ha quindi un grande numero di mwfqsimmetrie. Ha 20 vertici e 30 spigoli. Il suo mwfgpoliedro duale è l'mwfwicosaedro, anch'esso solido platonico.

L'area e il volume di un dodecaedro il cui spigolo ha lunghezza mwgg a {\displaystyle a} sono date rispettivamente da:

mwhq A = 3 a 2 25 + 10 5 , {\displaystyle A=3a^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}},}

mwhw V = 1 4 ( 15 + 7 5 ) a 3 . {\displaystyle V={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}.}

oppure approssimando:

mwiw V = 7,663 a 3 {\displaystyle V=7{,}663a^{3}}

Nel libro XIII dei suoi mwlgElementi, mwlwEuclide descrive il metodo per inscrivere un dodecaedro regolare in una sfera di diametro dato. La costruzione si basa sul fatto che, scelti opportunamente 8 dei 20 vertici di un dodecaedro regolare, questi sono anche i vertici di un cubo inscritto nella stessa sfera. La costruzione di Euclide è la seguente:

Si inscriva un cubo nella sfera data e si considerino due facce adiacenti, mwmq A B C D {\displaystyle ABCD} e mwmg A D E F , {\displaystyle ADEF,} di tale cubo (vedere figura 1). Siano poi mwmw T , G , L , W {\displaystyle T,G,L,W} e mwna M {\displaystyle M} i punti medi di mwnq E F , A D , B C , A B {\displaystyle EF,AD,BC,AB} e mwng C D {\displaystyle CD} rispettivamente e siano mwnw R {\displaystyle R} e mwoa J {\displaystyle J} i punti medi di mwoq G T {\displaystyle GT} e mwog G L . {\displaystyle GL.} Infine, si tracci il cerchio di raggio mwow K M {\displaystyle KM} e centro mwpa K , {\displaystyle K,} determinando così il punto mwpq H . {\displaystyle H.} Con raggio mwpg H J {\displaystyle HJ} e centro in mwpw J {\displaystyle J} si determinano i punti mwqa P {\displaystyle P} e mwqq N {\displaystyle N} sul segmento mwqg M W . {\displaystyle MW.} Sia poi mwqw H {\displaystyle H} il più vicino a mwra G {\displaystyle G} tra i due punti di intersezione tra la mwrqcirconferenza e mwrg G L ; {\displaystyle GL;} si può verificare che mwrw H {\displaystyle H} divide mwsa G J {\displaystyle GJ} in "media ed estrema ragione", ossia è tale che il rapporto tra mwsq H J {\displaystyle HJ} e mwsg G J {\displaystyle GJ} è la mwswsezione aurea. Infine, sia mwta S {\displaystyle S} il punto di mwtq G T {\displaystyle GT} tale che mwtg G S = G H . {\displaystyle GS=GH.}

Si tracci le semiretta uscente da mwua S {\displaystyle S} e perpendicolare alla faccia mwuq A D E F {\displaystyle ADEF} e si determini il punto della semiretta mwug X {\displaystyle X} di distanza mwuw J H {\displaystyle JH} (mwva = S R {\displaystyle =SR} ) da mwvq S . {\displaystyle S.} Si faccia lo stesso dai punti mwvg P {\displaystyle P} e mwvw N {\displaystyle N} (stavolta rispetto alla faccia mwwa A B C D {\displaystyle ABCD} ), determinando i punti mwwq Y {\displaystyle Y} e mwwg Z . {\displaystyle Z.} I punti mwww A , D , X , Y , Z {\displaystyle A,D,X,Y,Z} andranno a formare i vertici di una faccia del pentagono.

A seguito delle istruzioni per la costruzione suddetta, Euclide dimostra con un lungo ragionamento che i punti mwxq X , {\displaystyle X,} mwxg Y {\displaystyle Y} e mwxw Z , {\displaystyle Z,} assieme ai punti mwya A {\displaystyle A} e mwyq D , {\displaystyle D,} sono i vertici di uno dei pentagoni regolari che costituiscono il dodecaedro (i cui lati sono disegnati in rosso). Eccone alcuni accenni:

Per prima cosa occorre dimostrare che i cinque punti indicati sono complanari, cosa che si verifica facilmente guardando la proiezione laterale che compare in basso a destra nella figura 1. In tale figura sono riportati solo i punti appartenenti al piano che passa per le rette mwyw T G {\displaystyle TG} e mwza G L {\displaystyle GL} (il punto mwzq U {\displaystyle U} è il mwzgpunto medio del lato mwzw Y Z {\displaystyle YZ} del pentagono). I segmenti di lunghezza mwaa a {\displaystyle a} e mwaq b {\displaystyle b} sono stati ottenuti come sezione aurea del segmento di lunghezza mwag a + b {\displaystyle a+b} (metà dello spigolo del cubo); tenendo presente la definizione classica di sezione aurea mwaw a : b = b : a + b , {\displaystyle a:b=b:a+b,} è immediato concludere che i triangoli mwba G S X {\displaystyle GSX} e mwbq G J U {\displaystyle GJU} sono simili, quindi sono uguali fra loro gli angoli ε. Di conseguenza, i segmenti mwbg X G {\displaystyle XG} e mwbw G U {\displaystyle GU} giacciono su una stessa retta, e quindi i cinque punti del pentagono giacciono su un unico piano.

Il fatto che i cinque lati del pentagono sono uguali fra loro si può verificare applicando il mwcqteorema di Pitagora; a questo proposito, basta verificare che mwcg Y Z {\displaystyle YZ} è uguale a uno qualunque degli altri lati, che sono per forza uguali fra loro: infatti ciascuno dei lati mwcw Z D , {\displaystyle ZD,} mwda D X , {\displaystyle DX,} mwdq X A {\displaystyle XA} e mwdg A Y {\displaystyle AY} risulta essere diagonale di un mwdwparallelepipedo i cui spigoli sono mwea a , {\displaystyle a,} mweq b {\displaystyle b} e mweg a + b {\displaystyle a+b} (relativamente al lato mwew Z D {\displaystyle ZD} : gli spigoli del parallelepipedo di cui è diagonale sono mwfa a = M N , {\displaystyle a=MN,} mwfq b = N Z {\displaystyle b=NZ} e mwfg a + b = D M {\displaystyle a+b=DM} ).

Occorre infine verificare che gli angoli interni del pentagono siano uguali fra loro e questo può essere dimostrato per via indiretta, sempre grazie al teorema di Pitagora. Si può verificare infatti che le distanze di ciascun vertice dal punto centrale mwga Q {\displaystyle Q} della sfera (nonché del cubo e del dodecaedro) sono tutte uguali fra loro, e da questo segue che i vertici del pentagono si trovano su una circonferenza il cui centro è la proiezione del punto mwgq Q {\displaystyle Q} sul piano del pentagono mwgg A Y Z B X {\displaystyle AYZBX} : quindi il pentagono stesso, avendo i lati uguali e i vertici che stanno su una circonferenza, è regolare. Ma il fatto che le distanze dei vertici del pentagono dal centro mwgw Q {\displaystyle Q} della sfera sono tutti uguali dimostra anche che i vertici del pentagono stanno sulla superficie della sfera in cui si deve inscrivere il dodecaedro.

A questo punto, per ottenere il dodecaedro basta ripetere la stessa costruzione per le 11 facce rimanenti, come mostrato in figura 2.

Come gli altri mwjasolidi platonici, il dodecaedro è stato oggetto di studio dei filosofi fin dall'antichità. Le conoscenze in merito alle proprietà e alle qualità associate a questo solido erano un segreto. Tanto che il filosofo greco di mwjqMetaponto mwjgIppaso per il solo fatto di aver accennato alla figura venne accusato di empietà.

Altri si interessarono alla figura geometrica, tra cui personalità importanti come mwkaPitagora e mwkqPlatone. Quest'ultimo, nel mwkgTimeo, associò a ognuno dei 5 solidi platonici un elemento: dopo il fuoco, la terra, l'aria e l'acqua, al dodecaedro fu assegnata l'"etere" o "quintessenza" che componeva i corpi celesti e l'anima. Secondo il filosofo, il cosmo aveva la forma del dodecaedro.

Il cielo stellato rappresentato sulla superficie di un dodecaedro regolare è pubblicato da Richard A. Proctor nel suo

“A star atlas for the library, the school and the observatory. Showing 6,000 stars and 1,500 objects of interest, in twelve circular maps on the equidistant projection; with two coloured index plates, in their proper relative positions, including all the stars to the fifth magnitude, and the constellation figures ... London 1874”cite-ref-1[1]

Tali considerazioni potrebbero essere alla base della comprensione del cosiddetto dodecaedro romano, oggetto presente in diversi musei e su cui a tutt’oggi ci si interroga sulla reale funzione.

Il mwnapoliedro duale del dodecaedro è l'mwnqicosaedro.

Il dodecaedro possiede 120 mwoasimmetrie. Il mwoqgruppo di simmetria dell'icosaedro è quindi fatto di 120 elementi: è isomorfo al prodotto mwog A 5 × × Z / 2 Z {\displaystyle A_{5}\times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} } del mwowgruppo alternante mwpa A 5 {\displaystyle A_{5}} di mwpqordine mwpg 5 ! / 2 = 60 {\displaystyle 5!/2=60} e del mwpwgruppo ciclico di ordine 2. Le 60 rotazioni formano il mwqasottogruppo mwqq A 5 × × { 0 } {\displaystyle A_{5}\times \{0\}} , isomorfo ad mwqg A 5 {\displaystyle A_{5}} .

Le 60 rotazioni sono di vario tipo:

1. Rotazione di 360/5 = 72° (cioè mwrg 2 π π / 5 {\displaystyle 2\pi /5} mwrwradianti) intorno ad un asse che unisce i centri di due facce opposte;

2. Rotazione di 360/3 = 120° (cioè mwsq 2 π π / 3 {\displaystyle 2\pi /3} radianti) intorno ad un asse che unisce due vertici opposti;

3. Rotazione di 360/2 = 180° (cioè mwsw π π {\displaystyle \pi } radianti) intorno ad un asse che unisce i punti medi di due spigoli opposti.

Oltre a queste, vi sono anche le rotazioni ottenute mwtqcomponendo più volte una rotazione lungo lo stesso asse: in questo modo è possibile ad esempio ottenere gli angoli 72°, 144°, 216° e 288° in una rotazione del primo tipo. Quindi vi sono mwtg 6 × × 4 = 24 {\displaystyle 6\times 4=24} rotazioni del primo tipo (mwtw 4 {\displaystyle 4} angoli possibili per ognuna delle 6 coppie di facce opposte), mwua 2 × × 10 = 20 {\displaystyle 2\times 10=20} rotazioni del secondo tipo (mwuq 2 {\displaystyle 2} angoli 120° e 240° per ognuna delle 10 coppie di vertici opposti) e mwug 15 {\displaystyle 15} rotazioni del terzo tipo. In totale, mwuw 24 + 20 + 15 = 59 {\displaystyle 24+20+15=59} , cui va aggiunta l'mwvaidentità per ottenere un totale di mwvq 60 {\displaystyle 60} .

L'mwvwicosaedro ha lo stesso gruppo di simmetrie. Altri solidi hanno questo gruppo di simmetria: tra questi, l'mwwaicosaedro troncato, che modellizza il mwwqpallone da calcio.

Il mwyagrafo dei vertici e quello degli spigoli di un dodecaedro sono mwyq3-colorabili, ma non quello delle facce, che è solo 4-colorabile.

cite-note-11. ↑ mw0ahttp://www.atlascoelestis.com/Proctor%201874%20Pagina%20base.htm

• mw1aCinque tetraedri nel dodecaedro

• mw1gSolido platonico

• mw2aIcosaedro

• mw2gDodecaedro rombico aureo

• mw3aVilla Giulia (Palermo)

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «dodecaedro»

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su dodecaedro

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su dodecaedro regolare

• citereftreccani-itDodecaedro, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-italianaArturo Maroni, DODECAEDRO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1932.

• citerefdizionario-delle-scienze-fisicheDodecaedro, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.

• citerefvocabolario-treccaniDodecaèdro, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefsapere-itdodecaèdro, su sapere.it, De Agostini.

• citerefenciclopedia-della-matematicaDodecaedro, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefbritannica-com(EN) dodecahedron, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Dodecahedron, su MathWorld, Wolfram Research.

• citerefspringereom(EN) Dodecahedron, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.